Anno accademico 2010/2011 - lauree triennali

[ELENCO COMPLETO]
  1. Algebra I.
  2. Algebra II.
  3. Analisi matematica I.
  4. Chimica.
  5. Fisica generale I.
  6. Fondamenti dell´informatica I.
  7. Geometria.
  8. Geometria I.
  9. Inglese.
  10. Inglese scientifico.
  11. Laboratorio di fisica generale I.

8. Geometria I

prof.ssa Silvia Pianta


OBIETTIVO DEL CORSO

Dare una prima introduzione alla Geometria come linguaggio formale per descrivere la
realtà, a partire dalla teoria degli spazi vettoriali.
Fornire inoltre le nozioni fondamentali dell'Algebra lineare, al fine di introdurre lo studente
al linguaggio degli spazi vettoriali come potente ed elegante strumento formale per le
più svariate applicazioni matematiche e non, in particolare per la teoria dei sistemi e per
un'introduzione analitica della Geometria metrica, affine e proiettiva.

PROGRAMMA DEL CORSO
- Spazi vettoriali.
Vettori geometrici ed operazioni su di essi. Gruppi e campi: definizioni ed esempi. La nozione
di spazio vettoriale: definizione, esempi e prime proprietà; dipendenza e indipendenza
lineare, basi, dimensione, sottospazi e operazioni fra di essi, formula di Grassmann.
Omomorfismi fra spazi vettoriali: nucleo, immagine e teoremi relativi; isomorfismo tra gli
spazi vettoriali di dimensione finita n su un dato campo K; spazi di omomorfismi, forme
lineari e spazio duale.

- Matrici.
Operazioni tra matrici; determinante, teoremi di Laplace e di Binet; invertibilità di matrici
e loro rango; rappresentazioni matriciali di omomorfismi e di cambiamenti di base per
spazi vettoriali di dimensione finita, similitudine tra matrici.

- Sistemi lineari.
Sistemi lineari e rappresentazioni scalari di omomorfismi tra spazi vettoriali, teoremi di
Rouché-Capelli e di Cramer, principi di equivalenza dei sistemi e operazioni elementari
sulle matrici, eliminazione di Gauss e riduzione a scala di sistemi lineari e di matrici.
Equazioni parametriche e cartesiane dei sottospazi vettoriali.

- Endomorfismi di uno spazio vettoriale.
Autovettori, autovalori e autospazi, polinomio caratteristico e criteri di diagonalizzabilità
di endomorfismi e di matrici quadrate.

- Spazi vettoriali metrici.
Forme bilineari: rappresentazione matriciale (in dimensione finita), cambiamenti di base e
congruenza tra matrici. Prodotti scalari: forme quadratiche associate, ortogonalità, vettori
isotropi, basi ortogonali e loro esistenza, forme canoniche di forme quadratiche (o di
matrici simmetriche) complesse e reali (teorema di Sylvester).
Prodotti scalari euclidei: norma, angoli, proiezioni ortogonali di vettori, basi ortonormali,
teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt; prodotto vettoriale; matrici ortogonali,
operatori unitari (isometrie).

- Geometria affine, euclidea e proiettiva.
Spazi affini: definizione, traslazioni, sottospazi, parallelismo, proprietà geometriche degli
spazi affini.
Coordinatizzazione di uno spazio affine di dimensione finita, equazioni parametriche e
cartesiane dei sottospazi affini, equazioni delle traslazioni e delle affinità; geometria analitica
degli spazi affini, con particolare riguardo al piano e allo spazio tridimensionale, fasci e
stelle di rette e di piani.
Spazi euclidei: distanza fra due punti, angoli, ortogonalità; geometria euclidea nel piano
e nello spazio: ortogonalità e distanze fra rette, fra piani, fra rette e piani, circonferenze e
sfere, isometrie; alcuni luoghi geometrici.
Spazi proiettivi: piano proiettivo e cenni all'introduzione dello spazio proiettivo tridimensionale;
coordinate omogenee dei punti ed equazioni delle rette nel piano proiettivo reale e
complesso.

- Curve algebriche reali piane.
Nozioni generali sulle curve algebriche reali nel piano proiettivo reale e complesso: ordine,
punti semplici e singolari, rette tangenti, riducibilità.
Coniche: classificazione proiettiva, fasci di coniche, polarità; classificazione affine, centro,
diametri, asintoti; classificazione metrica, assi, fuochi e proprietà focali, equazioni canoniche
metriche.

BIBLIOGRAFIA

M. Abate, Geometria, McGraw-Hill Libri Italia srl, Milano, 1996.
T.M. Apostol, Calcolo, Vol.2, Geometria. Bollati Boringhieri, Torino, 1986.
E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989.
R. Moresco, Esercizi di algebra e di geometria,.(V ed.), Ed. Libreria Progetto, Padova, 1996.
V. Pipitone-M. Stoka, Esercizi e problemi di geometria, vol..1, Cedam, Padova, 1987.
Verranno inoltre distribuite delle dispense sui vari argomenti del corso.

DIDATTICA DEL CORSO
Lezioni ed esercitazioni in aula.

METODO DI VALUTAZIONE
Esame scritto ed orale.

AVVERTENZE
La Prof.ssa Silvia Pianta riceve gli studenti dopo le lezioni nel suo studio.



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