Anno accademico 2010/2011 - lauree triennali vecchio ordinamento

[ELENCO COMPLETO]
  1. Elettrodinamica e onde.
  2. Elettromagnetismo 1 e 2 (parte di elettromagnetismo 1).
  3. Elettromagnetismo 1 e 2 (parte di elettromagnetismo 2).
  4. Fisica ambientale 1.
  5. Fisica dei nuclei di particelle.
  6. Fisica dell´atmosfera.
  7. Fisica terrestre e geologia.
  8. Fondamenti di marketing per l´informatica.
  9. Geometria 3.
  10. Informatica aziendale.
  11. Inglese scientifico.
  12. Intelligenza artificiale 1.
  13. Istituzioni di economia.
  14. Laboratorio di algoritmi e strutture di dati.
  15. Laboratorio di elettromagnetismo.
  16. Laboratorio di elettronica.
  17. Laboratorio di fisica ambientale e terrestre.

31. Geometria 3

prof. Mauro Spera


OBIETTIVO DEL CORSO

PROGRAMMA DEL CORSO

[La numerazione romana si riferisce alle dispense, v. anche sotto]

1. Geometria differenziale delle curve nel piano e nello spazio

IV. Curve parametriche regolari. Lunghezza d'arco. Curve piane: lunghezza d'arco in coordinate
polari.

V. Curve piane: curvatura (con segno), raggio di curvatura e cerchio osculatore e sua caratterizzazione
come limite dei cerchi tangenti alla curva in un punto e passanti per un altro punto della curva.
Formula generale per la curvatura, formalismo complesso e formalismo "misto". Ricostruzione di una
curva piana a partire dalla sua curvatura a meno di un movimento rigido (teorema fondamentale per le
curve piane), formula esplicita.
Esempi: rette, coniche e altre curve classiche (cicloide, trattrice, clotoide ecc.). Evoluta ed
evolvente. L'evoluta di una trattrice e' una catenaria. L'evoluta di una cicloide e' una cicloide.

VI. Curve spaziali: curvatura, biregolarita', triedro principale,
torsione, formule di Fre'net-Se'rret.
Teorema fondamentale (curvatura e torsione caratterizzano una curva
biregolare a meno di uno spostamento rigido), con idea della dimostrazione.
Formule generali per la curvatura e la torsione.
Studio locale di una curva (biregolare) tramite il triedro di Fre'net.
Teoria del Dini.
Sfera osculatrice e teorema di de Saint Venant.
Esempi: cubica gobba, eliche, finestra di Viviani...

3. Geometria differenziale delle superficie

VII. Richiami di calcolo vettoriale (fine disp. VI).
Superficie parametriche regolari. Prima forma fondamentale (metrica).
Carta di Mercator. Proiezione stereografica (e proprieta' di quest'ultima di inviare cerchi in cerchi).
Metrica sulle superficie di rivoluzione; la pseudosfera di Beltrami.

VIII. L'applicazione di Gauss e relativo operatore di forma.
Seconda forma fondamentale e sue interpretazioni geometriche (teorema di Meusnier; scostamento dal
piano tangente) curvature principali, linee asintotiche, linee di curvatura e teorema di Rodrigues.
Teorema di Eulero.  Indicatrice di Dupin.
Curvatura gaussiana e curvatura media e loro formule di calcolo. La seconda forma fondamentale per
le superficie di rivoluzione. Curvature principali e loro significato geometrico (curvatura del
meridiano e reciproco della grannormale).
Curvatura della pseudosfera. Esempi vari (elicoide, catenoide...).

IX. Formule di Weingarten. Il Theorema Egregium e di Codazzi-Mainardi (schema generale della
dimostrazione). Formule varie per la curvatura. Derivata covariante e sua interpretazione geometrica
(Levi-Civita). Simboli di Christoffel.
Dimostrazione del Theorema Egregium.
Teorema fondamentale della teoria delle superficie (cenno).
Trasporto parallelo e suo significato geometrico. Formula di Levi-Civita. Trasporto parallelo sulla
sfera.

X (e XI) [Prologo: richiami di meccanica analitica. Principio di azione stazionaria ed equazioni di
Lagrange, coordinate cicliche e relative grandezze conservate (integrali primi)].
Geodetiche e loro propriet? intrinseche ed estrinseche: curve autoparallele, cammini critici dei
funzionali energia e lunghezza (se si usa l'ascissa curvilinea, in quest'ultimo caso), curve di
curvatura geodetica nulla (def. di curvatura geodetica e suo significato geometrico, con dim.).
Deteminazione delle geodetiche in alcuni esempi: piano euclideo, sfera, piano iperbolico, superficie
di rivoluzione (teorema di Clairaut).
Formula di Gauss per i triangoli geodetici. Applicazione alle geometrie non euclidee: sfera, piano
proiettivo (ellittico), piano iperbolico.
Teorema di Gauss-Bonnet.

Cenni su: applicazione esponenziale, coordinate normali e polari, cerchi geodetici, lemma di Gauss e
caratterizzazioni intrinseche della curvatura (formula di Bertrand e Puiseux), teorema di Minding.

XII.  Esempi, esercizi e complementi vari, tecniche di calcolo:
quadriche, superficie sviluppabili, rigate, superficie minime e loro caratterizzazione variazionale
(elicoide, catenoide...).


Gli argomenti si intendono corredati delle relative dimostrazioni (o idee di queste), salvo avviso
contrario.
Il programma del corso è interamente contenuto (come sottoinsieme proprio!) nelle dispense del docente
(GeometriaV3 I-XII), e appendici [GEO-add I-V] con richiami di calcolo differenziale, scaricabili
dalla pagina ufficiale del corso di Geometria della Facoltà di Scienze MM FF NN, Università di Verona.


Modalità d'esame: prova orale preceduta da un breve prova scritta.

BIBLIOGRAFIA
M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Springer, Milano, 2006.

M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces,
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with
Mathematica, CRC Press, Boca Raton, 2006.

D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometria intuitiva, Boringhieri, Torino, 1972.

M. Lipschutz, Geometria differenziale  Schaum, Etas Libri, 1984.

A. Pressley, Elementary Differential Geometry, UTM Springer, New York, 2000.

E. Sernesi, Geometria 2 Bollati Boringhieri, Torino, 1994.


METODO DI VALUTAZIONE
Prova orale preceduta da un breve prova scritta.



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